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Produit scalaire

Rappels et définitions#

Rappels sur les vecteurs

La norme d'un vecteur \(\vec{u}\) entre deux points \(A\) et \(B\), tel que \(\vec{u} = \vec{AB}\) se note \(\|\vec{u}\|\), il s'agit de la distance entre les deux points. \(\|\vec{u}\| = \sqrt{(x_{B} - x_{A})^2 + (y_{B} - y_{A})^2}\).

Définition : soient \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) deux vecteur du plan \(P\). Le produit scalaire de \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\), noté \(\vec{u} \centerdot \vec{v}\) (prononcé "u scalaire v") est un réel ayant pour valeur :

\[ \vec{u} \centerdot \vec{v} = \|\vec{u}\| \times \|\vec{v}\| \times \cos(\vec{u}, \vec{v}) \]
Exemple

Déterminer le produit scalaire entre les vecteurs \(\vec{u}(2, 3)\) et \(\vec{v}(-1, 4)\).

Calcul des normes :

\(\|\vec{u}\| = \sqrt{2^2 + 3^2} = \sqrt{13}\) et \(\|\vec{v}\| = \sqrt{(-1)^2 + 4^2} = \sqrt{17}\).

Calcul de \(\cos(\vec{u}, \vec{v})\) :

$$

Calcul du produit scalaire :

\(\vec{u} \centerdot \vec{v} = \|\vec{u}\| \times \|\vec{v}\| \times \cos(\vec{u}, \vec{v}) = \sqrt{13} \times \sqrt{17} \times \cos()\)

Remarque : un produit scalaire nul implique un "angle droit" entre les deux vecteurs, on dit qu'ils sont orthogonaux. On dit aussi que le vecteur nul \(\vec{0}\) est orthogonal à tout autre vecteur. La preuve :

Soient \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) deux vecteurs du plan.

\(\vec{u} \centerdot \vec{v} = 0 \Leftrightarrow \|\vec{u}\| \times \|\vec{v}\| \times \cos(\vec{u}, \vec{v}) = 0\), or un produit de facteurs est nul ssi au moins un des facteurs est nul.


Sources