Aller au contenu

Généralités sur les fonctions#

Domaine de définition#

Le domaine de définition d'une fonction \(f\) est l'ensemble des réels \(x\) où \(f(x)\) existe.

On trouve principalement deux conditions à remplir pour qu'une fonction existe :

Exemple

La fonction \(f(x) = \sqrt{3x}\) est définie dans \(\mathbb{R}^+\) (\([0; +\infty[\)).

  • Pas de dénominateur nul
  • Pas de racine carrée d'un nombre négatif

Sens de variation#

Soit \(f\) une fonction définie sur un intervalle \(I\) de \(\mathbb{R}\). On dit que :

  • \(f\) est croissante sur \(I\) ssi \(\forall (a, b) \in \mathbb{R}^2\), si \(a \ge b\) alors \(f(a) \ge f(b)\)
  • \(f\) est strictement croissante sur \(I\) ssi \(\forall (a, b) \in \mathbb{R}^2\), si \(a > b\) alors \(f(a) > f(b)\)
  • \(f\) est décroissante sur \(I\) ssi \(\forall (a, b) \in \mathbb{R}^2\), si \(a \le b\) alors \(f(a) \le f(b)\)
  • \(f\) est strictement décroissante sur \(I\) ssi \(\forall (a, b) \in \mathbb{R}^2\), si \(a < b\) alors \(f(a) < f(b)\)
  • \(f\) est constante sur \(I\) ssi \(\forall (a, b) \in \mathbb{R}^2\), \(f(a) = f(b)\)
  • \(f\) est monotone sur \(I\) ssi ou bien \(f\) est croissante sur \(I\), ou bien \(f\) est décroissante sur \(I\)
  • \(f\) est strictement monotone sur \(I\) ssi ou bien \(f\) est strictement croissante sur \(I\), ou bien \(f\) est strictement décroissante sur \(I\)

Par extension, soient \(f\) et \(g\) deux fonctions définies sur un intervalle \(I\) de \(\mathbb{R}\). Si :

  • \(f\) et \(g\) sont croissantes sur \(I\), alors \(f + g\) est croissante sur \(I\)
  • \(f\) et \(g\) sont strictement croissantes sur \(I\), alors \(f + g\) est strictement croissante sur \(I\)
  • \(f\) et \(g\) sont décroissantes sur \(I\), alors \(f + g\) est croissante sur \(I\)
  • \(f\) et \(g\) sont strictement décroissantes sur \(I\), alors \(f + g\) est strictement décroissante sur \(I\)

De même, si :

  • \(f\) et \(g\) sont croissantes et positives sur \(I\), alors \(f \times g\) est croissante sur \(I\)
  • \(f\) et \(g\) sont strictement croissantes et strictement positives sur \(I\), alors \(f \times g\) est strictement croissante sur \(I\)
  • \(f\) et \(g\) sont décroissantes et positives sur \(I\), alors \(f \times g\) est décroissante sur \(I\)
  • \(f\) et \(g\) sont strictement décroissantes et strictement positives sur \(I\), alors \(f \times g\) est strictement décroissante sur \(I\)

Aussi, la fonction inverse \(\frac{1}{x}\) inverse le sens de variation. Si :

  • \(f\) est strictement positive et strictement croissante sur \(I\), alors \(\frac{1}{f}\) est strictement décroissante sur \(I\).
  • \(f\) est strictement positive et strictement décroissante sur \(I\), alors \(\frac{1}{f}\) est strictement croissante sur \(I\).
  • \(f\) est strictement négative et strictement croissante sur \(I\), alors \(\frac{1}{f}\) est strictement décroissante sur \(I\).
  • \(f\) est strictement négative et strictement décroissante sur \(I\), alors \(\frac{1}{f}\) est strictement croissante sur \(I\).

Oui il y a beaucoup de propriétés. Mais au moins le plus gros est dit.

Extrema#

Encore là quelques définitions et propriétés.

Soit \(f\) une fonction. On dit que, sur un intervalle \(I\), \(f\) :

  • admet un maximum en \(x\) (ou encore que \(f(x)\) est le maximum de \(f\)) ssi \(\forall y \in I, f(x) \geq f(y)\).
  • admet un minimum en \(x\) (ou encore que \(f(x)\) est le minimum de \(f\)) ssi \(\forall y \in I, f(x) \leq f(y)\).

Parité#

Fonction paire#

On dit qu'une fonction est paire si elle possède une symétrie axiale par rapport à l'axe des ordonnées. Comme par exemple la fonction \(f(x) = x^2\).

On peut simplifier la phrase précédente par : une fonction \(f\) est paire ssi \(f(-x) = f(x)\).

Fonction impaire#

On dit qu'une fonction est impaire si elle possède une symétrie centrale par rapport à l'origine du plan. Comme par exemple la fonction \(g(x) = \frac{1}{x}\).

On peut simplifier la phrase précédente par : une fonction \(g\) est impaire ssi \(g(-x) = -g(x)\).

Positions relatives#

Lorsque l'on souhaite étudier la position relative entre deux courbes, que ce soit pour comparer deux fonctions ou encore savoir quand deux fonctions ont la même valeur, il suffit d'étudier la différence des deux fonctions.

En outre, pour étudier la position relative entre deux fonctions \(f\) et \(g\), on étudie le signe de \(f(x) - g(x)\).

Exemple

Étudier la position relative entre les deux fonctions \(f(x) = 4x^2 + 5x\) et \(g(x) = -x^2 + 9x\).

Nous allons étudier \(f(x) - g(x)\) :

\(f(x) - g(x) = (4x^2 + 5x) - (-x^2 + 9x) = 5x^2 - 4x\)

Étude de signe de \(h(x) = 5x^2 - 4x\) :

\(h(x) = 0 \Leftrightarrow 5x^2 - 4x = 0\)

Résolvons l'ESD \(h(x) = 0\) :

\(\Delta = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4\times5\times0 = 16\)

\(\Delta > 0\) donc il y a deux racines dans \(\mathbb{R}\) :

\(x_{1}\) et \(x_{2} = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}\).

\(x_{1} = \frac{4 - \sqrt{16}}{10} = 0\) et \(x_{2} = \frac{4 + \sqrt{16}}{10} = \frac{4}{5}\)

\(h\) s'annule en deux points, \(x_{1}\) et \(x_{2}\), voici le tableau de signe de \(h(x)\) avec les positions relatives de \(f\) et \(g\) :

\(x\) \(-\infty\) 0 \(\frac{4}{5}\) \(+\infty\)
\(h(x)\) + 0 - 0 +
Position de \(f\) par rapport à \(g\) au dessus en dessous au dessus

Composée de fonctions#

Soient \(f\) et \(g\) deux fonctions, la composée de \(f\) et \(g\) notée \(f \circ g\) est définie comme suit :

Soient \(D_{f}\) et \(D_{g}\), respectivement les ensembles de définition de \(f\) et \(g\), avec \(D_{f} \subset D_{g}\).

\[ f \circ g(x) = f(g(x)), \forall x \in D_{f}, f \in D_{g} \]
Exemple

Déterminer \(f \circ g\) pour \(f(x) = 3x^2\) et \(g(x) = \sqrt{\frac{1}{x}}\).

Nous savons que \(f \circ g = f(g(x))\) donc,

\(f \circ g = f(g(x)) = f(\sqrt{\frac{1}{x}}) = 3(\sqrt{\frac{1}{x}})^2\)

Voilà c'est tout pour les composées.

Sources