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Arithmétique de Peano#

Définition#

Symboles#

Axiomes de Peano#

Peano utilise 5 axiomes pour définir l'ensemble des entiers naturels :

  1. L'élément appelé zéro et noté \(0\) est un entier naturel
  2. Tout entier naturel \(n\) a un unique successeur, noté \(s(n)\) ou \(Sn\) qui est un entier naturel
  3. Aucun entier naturel n'a \(0\) pour successeur
  4. Deux entiers naturels ayant le même successeur sont égaux
  5. Si un ensemble d'entiers naturels contient \(0\) et contient le successeur de chacun de ses éléments, alors cet ensemble est \(N\)

De ces 5 axiomes en découlent 8 définitions dans son arithmétique :

  1. \(\forall x \lnot (Sx = 0)\)
  2. \(\forall x (x = 0 \lor \exists y (x = Sy))\)
  3. \(\forall x \forall y (Sx = Sy \Rightarrow x = y)\)
  4. \(\forall x (x + 0 = x)\)
  5. \(\forall x \forall y (x + Sy = S(x + y))\)
  6. \(\forall x (x \cdot 0 = 0)\)
  7. \(\forall x \forall y (x \cdot Sy = (x \cdot y) + x)\)
  8. Pour toute formule \(\phi (x, x_{1}, \cdots, x_{n})\) à \(n + 1\) variables libres, \(\forall x_{1} \cdots \forall x_{n} ((\phi (0, x_{1}, \cdots, x_{n}) \land (\forall x (\phi (x, x_{1}, \cdots, x_{n}) \Rightarrow \phi (Sx, x_{1}, \cdots, x_{n})))) \Rightarrow \forall x \phi (x, x_{1}, \cdots, x_{n}))\)
Sources